Заданы векторы, такие что |a|=2, |b|=7, а угол фи между ними равен 30 градусов. Найти (3a+b)(a+3b). (Над буквами стрелочки указаны)

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать несколько свойств векторов.

1. Скалярное произведение векторов:
Для двух векторов a и b с углом между ними фи, скалярное произведение вычисляется по формуле:
a · b = |a| · |b| · cos(фи)

2. Распределительный закон умножения векторов:
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d

Теперь рассмотрим заданное нам выражение (3a + b) · (a + 3b):

(3a + b) · (a + 3b)
= 3a · a + 3a · 3b + b · a + b · 3b
= 3a · a + 9a · b + b · a + 3b · b

Далее, мы можем использовать скалярное произведение векторов и свойство антикоммутативности (a · b = b · a) для более удобных вычислений.

Так как у нас дано значение угла между a и b (фи = 30 градусов), мы можем вычислить их скалярное произведение.

a · b = |a| · |b| · cos(фи)
= 2 · 7 · cos(30°)
= 14 · cos(30°)
= 14 · (√3/2)
= 7√3

Заменяем полученное значение в выражении:
3a · a + 9a · b + b · a + 3b · b
= 3a · a + 9 · (7√3) + (7√3) + 3b · b

Теперь можем вычислить скалярное произведение векторов a · a и b · b:
|a| = √(a · a)
=> 2 = √(a · a)
=> 4 = a · a

|b| = √(b · b)
=> 7 = √(b · b)
=> 49 = b · b

Заменяем значения в выражении:
3(4) + 9(7√3) + (7√3) + 3(49)
= 12 + 63√3 + 7√3 + 147
= 159 + 70√3

Таким образом, (3a + b) · (a + 3b) равно 159 + 70√3.