Розв'яжіть рівняння (3x+4)(2x-9)=x(64-3)-4

решите

А) Да, например, можно стереть пары 2-10, 4-5, 6-9, 7-11. Останутся два числа: 3 и 8, сумма которых равна 11.

б) Нет. Заметим, что стирать можно пары, в которых одно число даёт остаток 1 при делении на 3, а другое — остаток 2 при делении на 3 (пары первого типа), или пары чисел, делящихся на 3 (пары второго типа). В исходной последовательности 18 чисел с остатком 1, 17 с остатком 2 и 17 делящихся на 3. Тогда, чтобы осталось два числа, надо стереть 17 пар первого типа и 8 пар второго типа, останется одночисло, дающее остаток 1 при делении на 3, и одно число, делящееся на 4. Их разность не может делиться на 3.

в) Мы знаем остатки чисел, которые должны остаться. Максимальное чистное будет, если будем делить максимальное число с остатком 1 на минимальное с остатком 0 или максимальное с остатком 0 на минимальное с остатком 1. Посмотрим, что из этого больше.
Макс(0) = 150, мин(0) = 102; макс(1) = 151, мин(1) = 100. 150/100 = 1,5; 151/102 = 1,48... < 1.5. Значит, чтобы частное было максимальным, нужно оставить числа 150 и 100.

Вот как это сделать: стираем пары вида (6n, 6n + 3) для n от 17 до 24 и пары вида (3n + 2, 3n + 4) для n от 33 до 49

ответ. а) да, б) нет, в) 1,5.

1.
Если n - чётное, то n(3n-1)+2 делится на 2.
Если n - нечётное, то множитель (3n-1) чётный и всё выражение чётно.

2. Преобразуем выражение


Выражение n³+2n+3 раскладывается на множители. Для разложения надо найти корни уравнения n³+2n+3=0. Здесь срабатывает метод подбора - корнем уравнения является делитель свободного члена. Легко видеть, что подходит n = -1. Значит, один множитель будет (n+1), другой находим делением многочлена (n³+2n+3) на (n+1):
n³+2n+3 = (n+1)(n²-n+3)

Продолжим преобразования:


Получаем три слагаемых. В первом слагаемом наблюдаем произведение трёх последовательных натуральных чисел, значит оно делится на три. Второе и третье слагаемые тоже делятся на три - это очевидно.

Итак, исходное выражение делится на 3 при любых натуральных числах.