Решите только четные номера.

Натуральные числа разбиваются на два непересекающихся множества вида 2m и 2m+1, где m - натуральное.
а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным.
(2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 =
2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.

b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа.
Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа:
n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n
Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом?
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n
Не может.

Цельная и стройная запись решения:
n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2
Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.

Данко-воплощение настоящего героя того времени и нынешнего. Он в первую очередь решил позаботиться о чужих жизнях, когда совершал благородный поступок, но по какой же причине, осторожный человек наступил? Это главный вопрос Горький оставил без ответа, для того чтобы читатели сами смогли найти ответы. Есть предположение, что этот человек боялся, того к чему могут привести перемены. К сожалению люди очень часто жалуются на свою судьбу, вместо того чтобы приложить все усилия для каких-либо изменений. Наступивший испугался дальнейших последствий в будущем.

Реакция на жертвенность Данко, сначала вызвала у всех негатив, они хотели его убить. Но после того, как сердце показало им путь, они охваченные счастьем, совсем позабыли кто ради них пожертвовал своей жизнью. Никто не обратил внимания на затухающее сердце. Главная мысль этого момента в том, что люди могут быть добрыми, заботливыми и понимающими когда вокруг нет темного леса, нет хаоса. Как только человека поместить в неблагоприятные условия, он из разумного человека превращается в самое настоящее животное думающее только о себе.

Мысль, которую Горький хотел донести до людей, скорее было служение обществу. В наше время к сожалению очень много людей которые похожи по характеру на осторожного человека. Нельзя насильно требовать подвиги, не всем людям это свойственно, но если Каждый из нас начнёт с себя, постарается стать чуточку добрее, милосерднее и главное найдет в себе силы, чтобы не бояться перемен, то сердца, которые готовы указывать путь человечеству будут сиять для всех веками.