Найдите найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии (аn), если:
​

Пусть авс - трёхзначное число, а сва - число записанное те ми же цифрами, но в обратном порядке. Для удобства решения задачи, запишем разложение по разрядам данных чисел.
Итак, авс=100а+10в+с
        сва=100с+10в+а
Найдём разность данных чисел:
       авс-сва=(100а+10в+с)-(100с+10в+а)=100а+10в+с-100с-10в-а=
                 = 100а-100с-а+с=100(а-с)-(а-с)=(а-с)*(100-1)=(а-с)*99=(а-с)*9*11
Видно, что разность данных трёхзначных чисел кратна 9, т.к. она равна произведению множителей, один из которых равен 9.
Что и требовалось доказать

Пусть одна сторона х см, вторая у см
ху=2400
25% от 2400  это 2400:100·25=600
(х+20)- новая сторона
(у-10)- новая вторая сторона
Тогда площадь 2400+600=3000

Составляем уравнение

(х+20)·(у-10)=3000
ху+20у-10х-200=3000
2400+20у-10х=3200
20у-10х=800

Решаем систему двух уравнений
2у-х=80
ху=2400  

Выразим х из первого уравнения 
  х=2у-80    и    подставим во второе уравнение 
   (2у-80)у=2400
2у²-80у-2400=0
у²-40у-1200=0
D=1600-4·(-1200)=6400
у=(40+80)/2=60    или    у=(40-80)/2 - отриц корень не уд условию задачи
х=2у-80=2·60-80=40
ответ. 40 и 60 см - первоначальные размеры прямоугольника