Нужно знать:
1) арифметическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом - разностью арифметической прогрессии (обозначают d), т.е. аₓ = аₓ₋₁ + d (нет в редакторе формул нижнего индекса - буквы n);
2) формула n-го члена: аₓ = а₁ + d(х - 1) - напоминаю буквы n нет;
3) формулы суммы n первых членов:
Sₓ = (a₁ + aₓ)x/2, Sₓ = (2a₁ + d(x - 1))x/2.
Поэтому:
а₂ + а₆ = (а₁ + d) + (а₁ + 5d) = 2а₁ + 6d = 24, откуда а₁ + 3d = 12; (1)
а₂ · а₆ = (а₁ + d) · (а₁ + 5d) = а₁² + 5а₁d + а₁d + 5d² = а₁² + 6а₁d + 5d² = 128. (2)
Выразим из (1) а₁ = 12 - 3d и подставив в (2), получим и решим уравнение:
(12 - 3d)² + 6(12 - 3d)d + 5d² = 128,
144 - 72d + 9d² + 72d - 18d² + 5d² = 128,
-4d² = 128 - 144,
-4d² = -16,
d² = 4,
d = -2, т.к. по условию прогрессия - убывающая,
тогда а₁ = 12 - 3 · (-2) = 12 + 6 = 18.
Теперь найдем значение n:
Sn = (2 · 18 - 2(n - 1)) · n / 2 = 88,
(36 - 2n + 2) · n = 176,
(38 - 2n) · n = 176,
2(19 - n) · n = 176,
19n - n² = 88,
-n² + 19n - 88 = 0,
n² - 19n + 88 = 0,
D = (-19)² - 4 · 1 · 88 = 361 - 352 = 9; √9 = 3;
n₁ = (19 + 3)/(2 · 1) = 22/2 = 11,
n₂ = (19 - 3)/(2 · 1) = 16/2 = 8.
Значит, в арифметической прогрессии число членов может быть 8 или 11.
ответ: 8 или 11.
Задача 1.
х кар. во второй коробке
6х кар. в первой коробке
По условию в двух коробках 98 карандашей, получаем уравнение:
х + 6х = 98
7х = 98
х = 98 : 7
х = 14 карандашей во второй коробке
6·14 = 84 карандашей в первой коробке
ответ: 84; 14
Задача 2.
х км/ч - скорость мотоциклиста
(х+30) км/ч - скорость автомобиля
2х км - проехал мотоциклист за 2 ч
2·(х+30) км - проехал автомобиль за 2 ч
По условию расстояние между ними 240 км. получаем уравнение:
2х + 2(х+30) = 240
2х + 2х+60 = 240
4х = 240 - 60
х = 180 : 4
х = 45 км/ч - скорость мотоциклиста
45+30 =75 км/ч - скорость автомобиля
ответ: 45; 75
Задача 3.
х ч - время автомобиля
(х+2) ч - время автобуса
60х км - проехал автомобиль за х ч
40·(х+2) км - проехал автобус за (х+2) ч
По условию автомобиль и автобус проехали равные расстояния, получаем уравнение:
60х = 40·(х+2)
60х = 40х+80
60х -40х =80
20х = 80
х = 80 : 20
х = 4 ч - время автомобиля
60 км/ч · 4 ч = 240 км - расстояние между населенными пунктами
ответ: 240
