Решите систему уравнений , номера 25, 26, 27, 29 только под цифрой 1)!

1.
1) Наверное, здесь опечатка? y = x^3 и y = √(x^3)
Найдем точки их пересечения.
x^3 = √(x^3)
x1 = 0;
делим все на √(x^3)
√(x^3) = 1; x2 = 1
Находим площадь
Интеграл (0,1) (x^(3/2) - x^3) dx = [ 2/5*x^(5/2) - x^4/4 ] | (0, 1) =
= 2/5 - 1/4 - 0 = 0,4 - 0,25 = 0,15
2) Найдем точки их пересечения.
-x^2 + 4 = 4 - x
x^2 - x = 0
x1 = 0; x2 = 1
Находим площадь
Интеграл (0,1) (-x^2 + 4 - 4 + x) dx = Интеграл (0,1) (-x^2 + x) dx =
= [ -x^3/3 + x^2/2 ] | (0,1) = -1/3 + 1/2 - 0 = 1/6
3)  Найдем точки их пересечения.
x^2 = 4; x1 = -2; x2 = 2
Находим площадь
Интеграл (-2, 2) (4 - x^2) dx = [ 4x - x^3/3 ] | (-2, 2) = (4*2 - 8/3) - (-4*2 + 8/3) =
= 8 - 8/3 + 8 - 8/3 = 16 - 16/3 = (48 - 16)/3 = 32/3
4) Касательная к параболе y = -x^2+2x в точке x0 = 0,5 - это прямая
f(x) = y(0,5) + y'(0,5)*(x - 0,5) = (-0,25+1) + (-1+2)*(x - 0,5) = x + 0,25.
Пределы интегрирования: x1 = 0 (ось Oy) и x2 = 0,5
Находим площадь
Интеграл (0; 0,5) (x+0,25-(-x^2+2x)) dx = Интеграл (0; 0,5) (x^2-x+0,25) dx =
= [ x^3/3 - x^2/2 + 0,25x ] | (0; 0,5) = 0 - ((1/8)/3 - (1/4)/2 + 1/4*1/2) = -1/24
5) Интеграл (-2, 2) (√(-x+2) - x^3) dx = [ -2/3*(-x+2)^(3/2) - x^4/4 ] | (-2, 2) =
= -2/3*0^(3/2) - (-2)^4/4 - (-2/3*4^(3/2) - 2^4/4) = 0 - 4 + 2*8/3 + 4 = 16/3

2. Интеграл (-1, 0) (x^2 - 2x)(3 - 2x)/(x-2) dx = Интеграл (-1, 0) x(3 - 2x) dx =
= [ 3x^2/2 - 2x^3/3] | (-1, 0) = 0 - (3*1/2 - 2(-1)/3) = -3/2 - 2/3 = -13/6

3. Интеграл (0,1) (2x+3)/(2x+2) dx = Интеграл (0,1) (1 + 1/(2x+2)) dx =
= [x + 1/2*ln|2x+2| ] | (0, 1) = (0 + 1/2*ln 2) - (1 + 1/2*ln 4) =
= -1 + 1/2*(ln 2 - ln 4) = -1 + 1/2*ln(2/4) = -1 + 1/2*ln(1/2) = -1 - 1/2*ln 2

1. В вазе лежат 11 фруктов: 7 яблок и 4 груши. Сначала из вазы извлекли 1 грушу, т.е. это нам известно (вероятность 1). В вазе осталось 10 фруктов: 7 яблок и 3 груши. Вероятность того, что в этот раз будет взята груша равна:


2. В коробке лежат 10 деталей: 6 нормальных и 4 более лёгких. Значит, вероятность вытянуть из коробки лёгкую деталь равна (пусть это будет событие А):

На 6 деталей из 10 случайно сделали напыление. Тогда вероятность вытянуть деталь без напыления (пусть это будет событие В) равна:

Т.к. события А и В независимы, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей:


3. В вазе 11 цветков: 5 гвоздик и 6 нарциссов. Надо найти вероятность того, что среди 3 случайно вынутых цветков будет по крайней мере 1 гводика (пусть это событие А). Заметим, что собтытие, когда среди трёх вытащенных цветов все нарциссы, является противоположным событию А. Обозначим его и найдём его вероятность.
Вероятность, что первым вытянутым цветком будет нарцисс, равна 6/11. Вероятность, что и второй цветок окажется нарциссом, равна 5/10. И наконец, вероятность, что и третий цветок будет нарциссом, равна 4/9. Т.к. события незавичимы, то вероятности перемножаем:

Есть другой вариант вычисления данной вероятности. Надо вычислить, сколько всего есть вариантов вытащить 3 цветка из 11 (это число сочетаний по 3 из 11 - ). И вычислить число вариантов выбора 3 нарциссов из 6 (). А потом по классической формуле вероятности находится требуемая вероятность. Не всегда, но в данном случае такой путь боле громоздок.

Теперь остаётся найти нужную вероятность: