Дана функция y(x) = x³ – 3x + 3.
1) Область определения функции. Так как функция не имеет дроби или корня, то нет ограничения в области её определения.
D(y) = (−∞; +∞).
2) Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-x)^3-3*(-x)+3=-x^3+3x+3≠f(x)≠-f(x).
3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Найдем точки пересечения с осью ординат Oy, для чего приравниваем x = 0: у = 0³ – 3*0 + 3 = 3.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;3).
Найдем точки пересечения с осью абсцисс Ox, для чего надо решить кубическое уравнение x³ – 3x + 3 = 0.
Для вычисления корней данного кубического уравнения используем формулы Кардано.
Для начала нам надо привести наше уравнение до вида:
y³ + py + q = 0. Для этого используются следующие формулы:
p=-b^2/(3a^2 )+c/a; q=(2b^3)/(27a^3 )-bc/(3a^2 )+d/a,
где a - коэффициент при x³,
b - коэффициент при x²,
c - коэффициент при x,
d - свободный член.
Подставим наши значения в данные формулы, мы получим:
p=-0^2/(3*1^2 )+(-3)/1=-3; q=(2*0^3)/(27*1^3 )-(0*(-3))/(3*1^2 )+3/1=3.
вычислим количество корней кубического уравнения. Если:
Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня;
Q < 0 — три вещественных корня;
Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трехкратный вещественный корень.
В нашем случае Q = 1,25, будем иметь один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.
А сами корни найдём по следующим формулам:
x_1=α+β-b/3a;
x_2,3=-(α+β)/2-b/3a∓i (α-β)/2 √3 ;
где α=(-q/2+√Q)^(1/3) , β=(-q/2-√Q)^(1/3).
Подставив наши значения в вышеуказанные формулы вычислим, что:
α = −0,7256, β = −1,3782.
x1= −2,1038; x2,3 = 1.0519 ± i•0,5652.
4) Стационарные точки , интервалы возрастания и убывания функции , экстремумы функции
Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции: y’ = (x3 – 3x + 3)’ = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1).
Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых y′=0): 3(x2 – 1) = 0, x = ±1.
Получили две критических точки: х = -1 и х = 1.
Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:
x = -2 -1 0 1 2
y' = 9 0 -3 0 9
При x ∈ (−1; 1) производная y′ < 0, поэтому функция убывает на данном промежутке.
При x ∈ (-∞; -1) U (1; ∞) производная y′ > 0, функция возрастает на данных промежутках. При этом x = -1 - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает, x = 1 - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает.
Значение функции в этих точках: у(-1) = 5, у(1) = 1.
5) Дополнительные точки для построения графика функции y(x) = x3 − 3x + 3:
x y
-3.0 -15
-2.5 -5.1
-2.0 1
-1.5 4.1
-1.0 5
-0.5 4.4
0 3
0.5 1.6
1.0 1
1.5 1.9
2.0 5
2.5 11.1
3.0 21
6) По полученным данным строим график, и отметим характерные точки (пересечения с осями и экстремумы).
График функции и это же решение с правильным форматированием приведены во вложении.
