Поскольку, любое уравнение можно поделить на его старший коэффициент, то будем считать, для удобства, что мы рассматриваем два приведенных кубических уравнения с рациональными коэффициентами.
, 
- рациональные числа.
Поскольку, данные уравнения имеют общий корень, то уравнение, являющееся их разностью, тоже содержит этот корень:
, поскольку коэффициенты уравнений непропорциональны, то все коэффициенты полученного квадратного уравнения ненулевые.
А значит, данный общий иррациональный корень принимает вид : 
, где 
- рациональные числа, при этом 
не полный квадрат, отсюда в частности 
.
Попробуем показать, что если 
корень уравнения
, то и 
корень данного уравнения , и наоборот. Сделаем некоторое упрощение.
Если число является корнем данного уравнения , то сделаем замену: 
, тогда после раскрытия скобок данное уравнение так же будет с рациональными коэффициентами и будет иметь корень 
Такое уравнение примет вид :
, 
- рациональные числа.
Учитывая, что 
Предположим, что 
, но тогда , учитывая, что 
- не полный квадрат, то левая часть равенства иррациональна, а правая рациональна, что невозможно. То есть мы пришли к противоречию, а значит : 
Таким образом:
Аналогично, доказывается, что если ![-\sqrt[]{q}](/tpl/images/1361/5367/ad7ea.png)
корень данного уравнения, то и 
корень этого уравнения.
Таким образом, мы доказали, что если корень уравнения
, то и корень данного уравнения и наоборот. Аналогично доказывается этот факт и для уравнения:
.
А значит, данные кубические многочлены имеют еще один общий иррациональный корень.
Что и требовалось доказать.
