Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, 
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что 
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
В решении.
Объяснение:
Решить уравнения:
1) 2х + 7/у = 11
7х + 2/у = 16
Умножить оба уравнения (все части) на у, чтобы избавиться от дробного выражения:
2ху + 7 = 11у
7ху + 2 = 16у
Умножить первое уравнение на -7, второе на 2, чтобы решить систему методом сложения:
-14ху -49 = -77у
14ху + 4 = 32у
Сложить уравнения:
-14ху+14ху-49+4 = -77у+32у
-45 = -45у
45у = 45
у = 1;
Теперь подставить значение у в любое уравнение системы и вычислить х:
2ху + 7 = 11у
2х = 11*1 - 7
2х = 4
х = 2;
Решение системы уравнений (2; 1).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.
2) 12/х + 25/у = 7
6/х + 5/у = 2
Умножить оба уравнения (все части) на ху, чтобы избавиться от дробного выражения:
12у + 25х = 7ху
6у + 5х = 2ху
Умножить первое уравнение на -2, второе на 7, чтобы решить систему методом сложения:
-24у - 50х = -14ху
42у + 35х = 14ху
Сложить уравнения:
-24у + 42у -50х + 35х = -14ху + 14ху
18у - 15х = 0
-15х = -18у
15х = 18у
х = 18у/15
х = 1,2у;
Теперь подставить значение х в любое уравнение системы и вычислить у:
6у + 5х = 2ху
6у + 5*1,2у = 2у*1,2у
6у + 6у = 2,4у²
-2,4у² + 12у = 0/-1
2,4у² - 12у = 0
2,4у(у - 5) = 0
2,4у=0
у₁ = 0;
у - 5 = 0
у₂ = 5;
х = 1,2у;
х₁ = 1,2*0
х₁ = 0;
х₂ = 1,2*5
х₂ = 6.
По ОДЗ х и у не могут быть равны нулю.
Решение системы уравнений (6; 5).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.
3) (х - 9)(х - 6)/(у + 8) = 0
(у + 8)(у - 8)/(х - 6) = 0
Умножить первое уравнение на (х + 8), а второе на (х -6), чтобы избавиться от дробного выражения:
(х - 9)(х - 6) = 0
(у + 8)(у - 8) = 0
Раскрыть скобки:
х² - 6х - 9х + 54 = 0
у² - 64 = 0
Привести подобные члены:
х² - 15х + 54 =0
у² - 64 = 0
Вычислить у из второго уравнения:
у² = 64
у₁,₂ = ±√64
у₁ = -8;
у₂ = 8;
х² - 15х + 54 =0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 225-216=9 √D= 3
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(15-3)/2
х₁=12/2
х₁=6;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(15+3)/2
х₂=18/2
х₂=9;
По ОДЗ х не может быть равен 6, а у не может быть равен -8.
Решение системы уравнений (9; 8).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.
