Постройте график функции y=|x|(x+7)−5x и определите, при каких значениях k прямая y=k имеет с графиком ровно две общие точки.

знаменатели дробей  не должны быть равны  0 :
x ≠ 0  ;  х≠ 2
избавимся от знаменателей , умножим обе части уравнения на х(х-2)²
(2x+3)*x -(x- 1)*(x-2) = 5 * (x-2)²
2х² + 3х  - (x² - 2x - x + 2) = 5(x²  - 4x + 4)
2x² + 3x - (x²  - 3x  + 2) = 5x²  - 20x  + 20
2x²  +3x  - x²  + 3x  - 2  = 5x²  - 20x + 20
x²  + 6x  - 2  = 5x²  - 20x + 20
5x² - 20x + 20  -x²  - 6x  + 2  = 0
4x² - 26x  + 22 = 0
2(2x²  - 13x + 11) = 0       |÷2
2x² - 13x + 11 = 0
D = (-13)²  - 4*2*11 = 169 -88 = 81 = 9²
D>0  -  два корня уравнения



ответ : х₁ = 1 ; х₂ = 5,5 .

Раскроем скобки:

n(n² + 6n + 5) кратно шести.

6n² и так кратно шести, поэтому n³ + 5n кратно шести.

Пускай при делении n на 6 получим х плюс у в остаче, т. е. n/6 = x + y, тогда n можно записать как 6x + y, x ∈ Z, x ≥ 0, y ∈ {0;1;2;3;4;5}.

(6x + y)³ + 5*(6x + y) = (6x + y)((6x + y)² + 5) = (6x + y)(36x² + 12xy + y² + 5) = 216x³ + 72x²y + 6xy² + 30x + 36x²y + 12xy² + y³ + 5y = 216x³ + 108x²y + 18xy² + 30x + y³ + 5y.

Такие члены, как 216x³, 108x²y, 18xy², 30x делятся на 6, поэтому осталось доказать, что y³ + 5y = y(y² + 5) делится на 6.

Для этого просто рассмотрим все 6 случаев:

y = 0: 0 mod 6 = 0;
y = 1: 1 + 5 mod 6 = 0;
y = 2: 8 + 5*2 mod 6 = 0;
y = 3: 27 + 15 = 42 mod 6 = 0;
y = 4: 64 + 20 = 84 mod 6 = 0;
y = 5: 125 + 25 mod 6 = 0.