Объяснение:
у = х⁴ + 4х³
1. ОДЗ: х∈R
2.Четность, нечетность.
у(-х) = (-х)⁴ + 4(-х)³=х⁴-4х³
у(-х) ≠ у(х) ≠ -у(х) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть - общего вида.
3. Пересечение с осями.
х=0 ⇒ у=0
у=0 ⇒ х⁴ + 4х³ = 0; х³(х + 4) = 0 ⇒ х = 0; х = -4.
4. Функция непрерывна, асимптот нет.
5. Возрастание, убывание, экстремумы.
Найдем производную, приравняем к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси. Определим знак производной на промежутках. Если "+" - функция возрастает, "-" - убывает.
y' = 4x³ + 4·3x² = 4x³ + 12x² = 4x²(x + 3)
y'=0 ⇒ 4x²(x+3) = 0
x = 0; x = -3
См. рис.
Функция убывает при х∈(-∞; -3];
возрастает при х∈[-3; +∞)
В точке х = -3 производная меняет знак с "-" на "+" ⇒
х (min) = -3
y (-3) = 81-108 = -27
6. Выпуклость, вогнутость.
Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси. Определим знак второй производной на промежутках. Если "+" - функция вогнутая, "-" - выпуклая.
y'' = 4·3x²+12·2x = 12x² +24x =12x(x+2)
y''=0 ⇒ x=0; x=-2
См. рис.
Функция вогнута при х∈(-∞; -2]∪[0; +∞)
выпукла при x∈[-2; 0]
х=-2 и х=0 - точки перегиба.
у(-2)=16-32 = -16; у(0) = 0
Строим график.
1. Область определения - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.
Вертикальных асимптот - нет
2. Пересечение с осью Х. Y=0
При х1 = x2 = - 2, x3 = 1
3. Пересечение с осью У. У(0) = -4
4. Поведение на бесконечности.
limY(-∞) = - ∞ и limY(+∞) = +∞
Горизонтальной асимптоты - нет
5. Исследование на чётность.
Y(-x) ≠ - Y(x)
Функция ни чётная ни нечетная - общего вида..
6. Производная функции.
Y'(x)= 3*x² + 6*x = 3*x*(x+2) = 0
7. Корень при Х= - 2.
Возрастает - Х∈(-∞;-2)∪(0;+∞)
максимум - Y(-2) =0
минимум - Y(0) = - 4
Убывает - X∈(-2;0)
8. Вторая производная
Y"(x) = 6*x +6 = 6*(x+1)
9. Точка перегиба
Y"(x)=0 при X=-1
Выпуклая - Х∈(-∞;-1] Вогнутая - Х∈[-1;+∞).
10. График в приложении.
