Теңсіздікті шешіңдер

1) х2+4х+10 ≥ 0;

2) -х2+10х-25  0;

3) х2+3х+2 ≤ 0;

4) -х2+4 < 0;

Обозначим cлагаемые за Х,У,Z

(X+Y+Z)/3>=1

Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :

ХУZ>=1

Вернемся к исходным обозначениям

8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)

Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим

a+b>=2sqrt(ab)   b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)

поэтому можим заменить сомножители справа на произведение

2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc,   что и доказывает неравенство.

Равенство достигается только при а=с=b

|x + 3| - |2 - x| ≥ 5x - 3

Приравняем выражения под модулями к нулю, чтобы найти граничные значения x
1) x + 3 = 0
x = -3
2) 2 - x = 0
x = 2

Рассмотрим три промежутка значений x:
1) x ∈ (-∞; -3]
2) x ∈ (-3; 2]
3) x ∈ (2; +∞)

1) x ∈ (-∞; -3]

-(x + 3) - (2 - x) ≥ 5x - 3
-x - 3 - 2 + x ≥ 5x - 3
-2 ≥ 5x
5x ≤ -2
x ≤ -0,4

x ∈ (-∞; -3]

2) x ∈ (-3; 2]

(x + 3) - (2 - x) ≥ 5x - 3
x + 3 - 2 + x ≥ 5x - 3
2x + 1 ≥ 5x - 3
3x ≤ 4
x ≤ 4/3
x ≤ 1+1/3

x ∈ (-3; 1+1/3]

3) x ∈ (2; +∞)

(x + 3) + (2 - x) ≥ 5x - 3
x + 3 + 2 - x ≥ 5x - 3
5 ≥ 5x - 3
5x ≤ 8
x ≤ 1,6

x ∈ ∅

Объединяем все решения
ответ: x ∈ (-∞; 1+1/3]