Пусть 
Обращаю Ваше внимание, что я не собираюсь использовать четность числа различных простых делителей числа p. Обращаю также Ваше внимание, что в условии не сказано, в каком порядке берутся простые делители числа p. Также я не буду использовать равенство числа положительных и числа отрицательных слагаемых. Итак, можно считать, что нам дана сумма
сократив на общие множители, получаем
Поэтому 
Поскольку правая часть делится на 
левая часть также обязана делиться на а это очевидно не так.
Вывод: такое равенство не может иметь место.
Уравнение имеет один корень
Объяснение:
1) рассмотрим квадратичную функцию y=3x²+6x+7
так как коэффициент при x² равен 3 и 3>0 то
по свойству квадратичной функции выражение 3x²+6x+7
имеет минимальное значение в вершине параболы
по формуле координат вершины параболы
х₀=-b/(2a)=-6/(2*3)=-1
y₀=y(х₀)=3(-1)²+6(-1)+7=3-6+7=4
2) рассмотрим квадратичную функцию y=5x²+10x+14
аналогично рассуждая делаем вывод, что выражение 5x²+10x+14
имеет минимальное значение в вершине параболы
по формуле координат вершины параболы
х₀=-b/(2a)=-10/(2*5)=-1
y₀=y(х₀)=5(-1)²+10(-1)+14=5-10+14=9
3) рассмотрим квадратичную функцию y=-x²-2х+4
так как коэффициент при x² равен -1 и -1<0 то
по свойству квадратичной функции выражение -x²-2х+4
имеет максимальное значение в вершине параболы
по формуле координат вершины параболы
х₀=-b/(2a)=2/(2*(-1))=-1
y₀=y(х₀)=-(-1)²-2(-1)+4=-1+2+4=5
4) соответственно
выражение
√(3x²+6x+7) + √(5x²+10x+14) имеет минимум при х=-1 и его минимальное значение равно √4+√9=2+3=5
так как левая часть исходного уравнения имеет минимум в точке x=-1
а правая часть имеет максимум в этой же точке и значения в этой точке левой и правой части уравнения совпадают то в этой точке уравнение имеет корень х=-1 и он единственный
