с построением графика функции

  Если вам нужно "сухое" доказательство , то это Малая теорема Ферма ,  , у вас тут  , и оно не делится на  , откуда и следует утверждение задачи  
   
Если хотите более элементарное доказательство , можно это доказать при Бинома Ньютона , или попробовать  представить просто число в виде . Но рассматривать частные случаи , что то не охота
 
Либо через группу Галуа , если это доказательство подойдет .  Если рассматривать уравнение вида  ,  то есть имеет вид  , то найдется такое число во множители что , будет делится на  , опять не для всех , а только для простого числа . А она следует из теорема Эйлера. 
 

Пусть неизвестное целое число равно х, 
тогда х-1 и х+1 - целые числа, расположенные слева и справа
 от числа х, соответственно.
По условию, сумма квадратов данных чисел равна 869.
Составим уравнение:
(х-1)²+х²+(х+1)²=869
х²-2х+1+х²+х²+2х+1=869
3х²+2=869
3х²=869-2
3х²=867
х²=867:3
х²=289
х=
x=

1) x=17
    x-1=17-1=16
    x+1=17+1=18
    Получаем, 16, 17 и 18 - три последовательных целых числа
    Проверка: 16²+17²+18²=256+289+324=869
2) х=-17
    х-1=-17-1=-18
    х+1=-17+1=-16
    Получаем, -18, -17 и -16 - три последовательных целых числа
    Проверка:(-18)²+(-17)²+(-16)²=324+289+256=869

ответ: 16, 17 и 18;  -18, -17 и -16