Мне кажется, что словосочетание по соболезности означает ни что иное, как солидарность. Как бы человек разделяет в какой-нибудь ситуации чувства человека. Он вместе с ним переживает, волнуется.
Если честно, то такое выражение редко можно услышать. Сам никогда в речи словосочетание не употребляю.
