Буква ы пишется в следующих случаях.
В корнях слов: цыган, цыплёнок, цыпки,на цыпочках, цып-цып, цыц, цыкать, цыркать.В окончаниях существительных и прилагательных, например: огурцы, куцый.В суффиксе прилагательных -ын , например: сестрицын, лисицын.Так же пишутся географические названия на -цын, -цыно , например: Царицын, Голицыно .
В русских фамилиях после ц пишется буква и или ы в соответствии с традицией и с регистрацией в официальных документах.
Во всех остальных случаях после ц пишется буква и , а именно:
а) в корнях слов, в том числе иноязычных собственных имен, например: цирк, циклон,
б) в суффиксах иноязычного происхождения, например: организация, публицист,
в) после первых частей сложных и сложносокращенных слов и в звуковых аббревиатурах.
