Извиниться однокоренное проверочное слово с проверочной гласной в корне: повинен.
По произношению проверочного слова становится понятно, что в корне слова "извиниться" пишется буква "и", как и слышится. В приставке пишется гласная "и", так как приставки "эз" и "ез" в русском языке не существует. Написание мягкого знака после буквы "т" определяется по вопросу: "Что сделать?" - извиниться. В вопросе мягкий знак есть, значит и в слове он должен быть.
