Не проснувшийся вовремя -объяснить, почему "не" пишется раздельно; -объяснить, почему "вовремя" пишется слитно. несмотря на засуху -объяснить, почему "несмотря" пишется слитно.

Не проснувшийся вовремя:
Не проснувшийся пишется раздельно, потому что есть зависимое слово.
Вовремя пишется слитно, когда в предложении употребляется наречием. Раздельно, когда в предложении употребляется существительным.
Несмотря на засуху:
Несмотря пишется раздельно, когда имеет значение "не обращая внимания"