Раздельно пишется в другом смысле, например, отложить разговор на утро
(это существительное с предлогом).
Но - Наутро похолодало - нужно писать слитно, потому что это наречие.
Его значение: утром следующего дня). Такие же примеры:
Наутро встал здоровым.
Посмотрим, какая погода будет наутро.
Наутро пустились в путь.
