В литературном языке правильным считается написание - отчаянИе.
Но в разговорной речи, а также в стихах (чтоб уменьшить количество слогов) используется и такая форма: отчаянЬе.
В данном случае пишется разделительный Ь (между согласным и буквой Е)
