Когда? - обозначает добавочное действие и признак действия - деепричастие, особая форма глагола.
Начальная форма - проснуться.
Морфологические признаки - совершенного вида, возвратное, не изменяется, непостоянных признаков нет.
Синтаксическая роль - скорее всего, обстоятельство времени.
