Синтаксический разбор предложения: в государстве ромашек, у края, где ручей, задыхаясь, поет, пролежал бы всю ночь до утра я, запрокинув лицо в небосвод.

В государстве - обстоятельство, выраженное существительным с предлогом
Ромашек - дополнение, выраженное существительным
У края - (уточнение) обстоятельство, выраженное существительным с предлогом
Ручей - подлежащее, выраженное существительным
Задыхаясь - обособленное обстоятельство, выраженное одиночным деепричастием
Поет - сказуемое, выраженное глаголом
Пролежал - сказуемое, выраженное глаголом
Всю ночь - обстоятельство, выраженное местоимением и существительным
До утра - обстоятельство, выраженное существительным с предлогом
Я - подлежащее, выраженное местоимением
Запрокинув лицо в небосвод - обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом
Характеристика предложения: СПП с обстоятельственным придаточным места