Объясните знаки препинания. Поприветствовав приятеля, поприветствуйте и незнакомца, сдержанно улыбнитесь ему, давая этим понять, что знакомый вашего знакомого также приятен для вас.

причастный и деепричастный обороты, присутствуют в предложении. Перед "что" всегда ставится запятая.

Поприветствовав приятеля, (1) поприветствуйте и незнакомца, (2) сдержанно улыбнитесь ему, (3) давая этим понять, (4) что знакомый вашего знакомого также приятен для вас.

1, 3 - деепричастные обороты

2 - однородные сказуемые, соединённые бессоюзно

4 - запятая отделяет придаточное предложение