По середине пишется вместе или раздельно

Может писаться слитно и раздельно. Как проверить? Если между "по" и "середине" нельзя вставить слово, то пишется слитно.

I Посередине:
    1. Предлог. 
Посередине праздничного ужина отключили свет. 
    2. Наречие.
Ставь посередине.

II По середине:
    1. Существительное с предлогом.
Смотри, надо стрелять по середине мишени. (По чему?)

III По середине и посередине:
    1. Пишем в зависимости от того, на что хотели поставить смысловой акцент.
Девочка шла посередине тропинки. (Предлог)
Девочка шла по середине тропинки. (Имеют в виду саму середину)