Проверочное слово «письменный«, а также «письменность», формы настоящего времени однокоренного глагола «писать» (пи́шешь, пи́шет, пи́шем, пи́шете) доказали написание буквы «и» в корне слова «письмо».
суффиксы "енн" и "онн" пишутся с двумя нн
