ответ:Предложный падеж.
Объяснение:
Проживать (где? в ком? в чём?) в гостинице.
Судя по поставленному падежному вопросу и наличию предлога ("в"), - это Предложный падеж.
Проживать (где?) в гостинице - предложный падеж, женский род, единственное число, обстоятельство
