1) брат остался у товарища, чтобы сделать математику. Брат остался у товарища, потому что на улице дождь.
2) Мы открыли окно для поступляния в клмнату свежего воздуха. Мы открыли окно из-за духоты.
3) Нам надо спешить, чтобы успеть забежать в магазин перед началом онлайн-занятия. Нам надо спешить, поскольку в столовой осталась последняя булочка с маком, которую так хотел Костя