Впустую здесь наречие, а если бы писалось раздельно, то был бы предлог с прилагательным.
Она спорила с родителями ( Как ? ) впустую
"Впустую" это наречие.
Если бы писалось так:
Она спорила с родителями ( В какую? ) в пустую
, то "в пустую" это был бы предлог с прилагательным.
