Если предмет (который начался) мужского рода, то пишем начался.
– Когда начался ПРОСМОТР(м.р.) фильма..
Если предмет (который начался) женского рода, то пишем началась
– Когда началась ПОГОНЯ (ж.р.)...
В женском роде пишется -началась, а мужском - начался.
