Перепишите, подчеркнув обособленные члены предложения:

(1) Здесь, среди болот поросших богатой растительностью и глухих лесов изгибаясь, пробирается тоненький ручеёк. (2)Так начинает Волга самая большая река в Европе свой далёкий путь. (3)Пройдя через несколько озёр она набирает силу и разливается могуче величаво. (4) Семь тысяч больших и малых рек несут Волге матушке свои воды.
(5)Человек путешествующий по Волг, не перестаёт удивляться красоте её берегов разнообразных живописных. (6)В верховьях сжимают реку жёлто - красные сосновые леса наполняя воздух запахом сосны. (7)Живописен правый берег гористый круто обрывающийся к реке прорезанный глубокими долинами. (8)Ближе к югу где - то после Саратова заросли уступают место хлебам уходящим в бесконечную даль.

Слово "тонкой" относится к слову "паутины". Паутины КАКОЙ? тонкой, значит какой падеж у существительного и род, такой и у прилагательного.
Отсюда задаем вопрос к ПАУТИНЕ. Лишь ЧЕГО? паутины, вопрос кого? чего? относится к Родительному падежу, значит и ПАУТИНЫ и ТОНКОЙ в Род.падеже. Далее род, ставим ПАУТИНЫ в ед.число- ПАУТИНА,паутина кто? ОНА, значит и ПАУТИНЫ и ТОНКОЙ в ЖЕН.РОДЕ.

По сути должно быть так, если бы в предложении был глагол я бы точно ответила, просто тут все зависит от контекста. Если ПАУТИНЫ была бы подлежащим, то отсюда у нее бы был Именительный падеж) 

Настоящей демократии в Аристотелевском понимании слова - власть народа - нет сегодня ни в одной стране мира. Аристотель, впервые сформулировавший понятие демократии, считал, что идеальное государство должно быть небольшим по размерам, так как только в таком возможна прямая демократия и что право голоса может принадлежать только гражданам, владеющим частной собственностью. Рабы не имели права голоса, так как людьми, по сути, не считались. В настоящее время нет стран с такой численностью населения, которая позволяла бы всем принимать участие в управлении государством. Поэтому современная демократия уже давно по своим основным признакам не соответствует той, какой её видел Аристотель. Сегодня термин «демократия» используется в качестве синонима выражения «власть народа» , хотя, по сути, ни в одной стране она таковой не является. Ту форму правления, которую сегодня принято называть демократией, называют так скорее по традиции. Власть принадлежит, как декларируют конституции многих стран, народу, но.. . через представительные органы власти. Народ избирает тех, кому он доверяет представлять свои интересы во власти. Под демократией сегодня понимается некий набор признаков, характеризующих демократическое общество, как то: свобода слова, волеизъявления, митингов, собраний и т. д. Т. е. речь идет в первую очередь о политических свободах общества. Это и есть демократия в современном понимании слова. Такая демократия российскому народу нужна. Главными признаками современной демократии являются законодательно обеспеченные выборные формы пропорционального представительства в коллективном органе власти, а также обязательное наличие прав граждан, несущих в себе механизм защиты интересов меньшинства. Формула понятия демократии закрепляется в Основном Законе страны (Конституции)..
__
Демократия — это политическая система, в которой политическая власть осуществляется свободно выражающим свою волю большинством граждан.