Монарх - правитель, которому власть досталась по наследству.
Президент - глава государства/ глава исполнительной власти (в зависимости от политической системы), который избирается гражданами на определенный срок, установленный Конституцией.
Монарх - глава монархии (абсолютной или ограниченной).
Президент - символ республики.
Главное отличие между монархом и президентом заключается в получения власти. Президент наделяется властью посредством воли народа через выборы, а монарх получает власть по наследству, от родителей или других родственников.
Также президент правит ограниченный срок, а монарх - нет, причем неважно речь идет об абсолютной или ограниченной монархии.
