Можно ли расставить 49 целых чисел не обязательно различных в клеточки квадратной таблицы 7×7(по одному числу в каждую клетку)так чтобы сумма чисел во всех квадратаз размерами 2×2 и3×3 делилась на 2018,а сумма чисел таблицы не делилась на 2018?

Можно решить системой. Условие; огурцы+помидоры=заправка* 2,5раз; помидоры+заправка=10г; огурцы=10г:2,5; заправка=?; обозначим огурцы=Х; помидоры=У; заправка=Z; подставляем; {(Х+У)=2,5*Z; Y+Z=10; X=10:2,5} отсюда Сперва Х=10:2,5; Х=4; теперь ищем У; У+Z=10; отсюда Y=10-Z; подставим Х и У ; (X+Y)= 2,5Z; (4+(10-Z))= 2,5Z; 4+10-Z=2,5Z; 14=2,5Z+Z; 14=3,5Z; Z=14: 3,5; Z=4; теперь У= 10-Z; Y=10-4; Y=6; проверим; подставим что нашли {(X+Y)= 2,5*Z; 4+6=2,5*4; 10=10; Y+Z=10; 6+4=10; 10=10;} получили верное решение; огурцы=Х=4г; Помидоры=У=6г; Заправка=Z=4г; если вместе все 4+6+4=14г; ответ:заправка весит 4г.

Представим трехзначное число в виде

100а+ 10b + с.

При вычеркивании средней цифры имеем следующее:

10а + с

Причем по условию:

100а+10b+c=7*(10a+c)

Приведем это Диофантово уравнение к более удобному виду:

100a+10b+c=70a+7c

30a+10b=6c

15a+5b=3c

разделим обе части на 15

а+b/3=c/5

 

Следовательно, т.к. 3 и 5 - взаимно простые,

- b должно быть кратно 3

- с должно быть кратно 5

- а равно с/5 - b/3

(заметим, что 0 - кратное любой цифре. НО - а не равно нулю, т.к. в этом случае имеем двузначное число. Следовательно, с тоже не может быть нулем, иначе а обращается в 0)

Итак:

с = 5 - без вариантов;

b= 0; 3; 6 или 9

а - вычислим:

 

с=5 b=0 => a= 5/5 - 0/3 = 1

c=5 b=3 => a= 5/5 - 3/3 = 0 - не подходит, потому что ане может быть равным нулю ( получаем двузначное число)

При b=6, b=9  => a= -1 и а= -2, что невозможно по условиям задачи.

 

Отсюда - один вариант ответа:

a= 1 b=0 с=5

 

То есть, ОТВЕТ - 105. Других чисел нет.

(проверка: 105/7 = 15 - что и требовалось в условии)