Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть F'(x)=f(x), тогда
\int f(x)\,dx= \int F'(x)\,dx= \int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C.
Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство d\bigl(F(x)\bigr)=F'(x)\,dx= f(x)\,dx остается справедливым и в случае, когда {x} — промежуточный аргумент, т.е. x=\varphi(t). Это значит, что формула \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C} верна и при x=\varphi(t). Таким образом,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,d\bigl(\varphi(t)\bigr)= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C, или \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C.
Итак, если F(t) является первообразной для f(x) на промежутке {X}, а x=\varphi(t) — дифференцируемая на промежутке {T} функция, значения которой принадлежат {X}, то F\bigl(\varphi(t)\bigr) — первообразная для f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t),~t\in T, и, следовательно,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= \int f(x)\,dx\,.
Эта формула позволяет свести вычисление интеграла \textstyle{\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt} к вычислению интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx}. При этом мы подставляем вместо \varphi(t) переменную {x}, а вместо \varphi'(t)\,dt дифференциал этой переменной, т. е. dx. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx} надо снова заменить {x} на \varphi(t).
Пример 1. Вычислим \int\cos2t\,dt.
Решение. Введем новую переменную {x}, положив 2t=x. Тогда 2\,dt=dx,~dt=\frac{1}{2}\,dx и, следовательно,
\int\cos2t\,dt= \int\cos{x}\,\frac{1}{2}\,dx= \frac{1}{2}\int\cos{x}\,dx= \frac{1}{2}\sin{x}+C= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Замечание. Вычисление короче записывают так:
\int\cos2t\,dt= \frac{1}{2}\int\cos2t\,d(2t)= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Пошаговое объяснение:
A (0,4)
B (0,9)
C (1,4)
D (1,7)
E (2,1)
F (2,6)
H (2,9)
Пошаговое объяснение:
График разделён на несколько отрезков. Есть маленькие и большие отрезки. Большой отрезок отрезок равен 1, а маленький отрез равен 0,5. Всего три больших и шесть маленьких отрезков (смотри на фото).
В задаче нам дали координаты каждой точки, чтобы мы показали каким точкам они соответствуют.
Возьмём одни из координат, например, 1,4. Теперь просто надо логически подумать и понять, что 1,4 больше 1, значит, эта точка будет стоять точно единицы. На графике после единицы стоят 5 точек (C, D, E, F, H). Дальше нужно осознать, что 1,4 меньше, чем 2, получается, что нужная точка будет стоять перед двойкой. Теперь у нас остаются две возможные точки (C и D). Остаётся сделать выбор их них двоих. Можно заметить, что после единицы идёт маленький отрезок (он равен 0,5). Считаем, 1+0,5=1,5 Точка 1,4 должна стоять чуть-чуть раньше, чем 1,5 (потому что она меньше). На графике как раз есть такая точка - это точка C.
По такой же логике можно все остальные точки.
