Бесконечная последовательность ненулевых чисел a1 a2 a3, такова что при всех натуральных n> =2018 число an+1 является наименьшим корнем многочлена pn (x)=x^2n-2 +a2x^2n-4 ++anдокажите что существует такое n что в бесконечной последовательности an,an+1,an+ каждый член меньше предыдущего

Для начала, давайте определим, что из себя представляет многочлен pn(x). В данном случае, многочлен pn(x) имеет вид:

pn(x) = x^(2n-2) + a2x^(2n-4) + ... + an

Теперь, нам нужно доказать, что существует такое значение n, что в бесконечной последовательности an, an+1, an+2 и так далее, каждый член будет меньше предыдущего.

Для начала, рассмотрим множество всех a1, a2, a3 и так далее. Из условия задачи, мы знаем, что при всех натуральных n ≥ 2018 число an+1 является наименьшим корнем многочлена pn(x).

Предположим, что существует такое n, что an+1 ≥ an. Поскольку an+1 является наименьшим корнем многочлена pn(x), значит, pn(an+1) ≤ 0.

Так как pn(x) является многочленом с положительными старшим и свободным членами, он имеет одинаковый знак с x^2n-2 (положительный знак для всех x). Также из условия, мы знаем, что an+1 является наименьшим корнем многочлена pn(x), следовательно, pn(0) > 0.

Рассмотрим разность pn(an+1) - pn(0):

pn(an+1) - pn(0) = an+1^(2n-2) + a2*an+1^(2n-4) + ... + an - (0^(2n-2) + a2*0^(2n-4) + ... + an)

Видно, что все слагаемые в разности pn(an+1) - pn(0) положительные, так как an+1>0 и все an ≥ 0.

Таким образом, разность pn(an+1) - pn(0) положительна, следовательно, pn(an+1) > pn(0).

Это значит, что положение корня an+1 ближе к нулю, чем положение корня 0, т.е. an+1 < 0.

Таким образом, мы доказали, что если существует такое n, что an+1 ≥ an, то получим противоречие.

Следовательно, мы можем заключить, что в бесконечной последовательности an, an+1, an+2 и так далее, каждый член будет меньше предыдущего.