Масштаб 1:7500000
Пошаговое объяснение:
Масштаб это отношение расстояния на карте к расстоянию на местности. Обычно отношение представляют так чтобы делимое было равно 1.
Чтобы найти масштаб, надо расстояние на карте и местности выразить в одних единицах, составить отношение расстояния на карте к расстоянию на местности и привести его к виду в котором делимое =1
1) Выразим расстояние на местности в см
420 км=420*1000 м = 420000 м=420000*100 см=42 000 000 см
2) составим отношение
5,6:42 000 000
3) Приведем отношение к виду в котором делимое равно 1
5,6:42 000 000=
разделим оба числа на 5,6
= (5,6/5,6) : (42 000 000/5,6) =
= 1:7500000
Масштаб карты 1:7500000
М - трехзначное число, обозначим его так:
M = 100a + 10b + c
N - сумма квадратов цифр числа M.
N = a^2 + b^2 + c^2
И оказалось, что M на 175 больше N.
a^2 + b^2 + c^2 + 175 = 100a + 10b + c
a^2 - 100a + b^2 - 10b + c^2 - c + 175 = 0
(a^2 - 2*50a + 50^2) - 50^2 + (b^2 - 2*5b + 5^2) - 5^2 + (c^2 - 2*(1/2)*c + (1/2)^2) - (1/2)^2 + 175 = 0
(a-50)^2 - 2500 + (b-5)^2 - 25 + (c-0,5)^2 - 0,25 + 175 = 0
(a-50)^2 + (b-5)^2 + (c-0,5)^2 - 2350,25 = 0
(50-a)^2 + (b-5)^2 + (c-0,5)^2 = 2350,25
Оценим, сколько может быть решений.
а, b, c € [0; 9] и при этом они целые.
50 - a <= 50; (50-a)^2 <= 2500
b - 5 <= 5; (b-5)^2 <= 25
c - 0,5 <= 8,5; (c-0,5)^2 <= 72,25
(b-5)^2 + (c-0,5)^2 <= 97,25
a = 0; (50-a)^2 = 50^2 = 2500 > 2350,25 - не подходит.
a = 1; (50-a)^2 = 49^2 = 2401 > 2350,25 - не подходит.
a = 2; (50-a)^2 = 48^2 = 2304; 2350,25 - 2304 = 46,25 < 97,25 - подходит.
a = 3; (50-a)^2 = 47^2 = 2209; 2350,25 - 2209 = 141,25 > 97,25 - не подходит.
Для остальных а выражение (50-а)^2 будет ещё меньше, а остаток больше.
Поэтому они тоже не подходят.
Итак, однозначно a = 2.
Найдем, какие значения могут принимать b и c.
(b-5)^2 + (c-0,5)^2 = 46,25
b = 0; (b-5)^2 = 5^2 = 25; (c-0,5)^2 = 46,25 - 25 = 21,25 - не подходит.
b = 1 или 9; (b-5)^2 = 4^2 = 16; (c-0,5)^2 = 46,25 -16 = 30,25 = 5,5^2 - подходит.
Решение 1: a = 2; b = 1; c = 6; Число: 216.
Решение 2: a = 2; b = 9; c = 6; Число: 296.
b = 2 или 8; (b-5)^2 = 3^2 = 9; (c-0,5)^2 = 46,25 - 9 = 57,25 - не подходит.
b = 3 или 7; (b-5)^2 = 2^2 = 4; (c-0,5)^2 = 46,25 - 4 = 42,25 = 6,5^2 - подходит.
Решение 3: a = 2; b = 3; c = 7; Число: 237.
Решение 4: a = 2; b = 7; c = 7; Число: 277.
b = 4 или 6; (b-5)^2 = 1^2 = 1; (c-0,5)^2 = 46,25 - 1 = 45,25 - не подходит.
b = 5; (b-5)^2 = 0; (c-0,5)^2 = 46,25 - не подходит.
Все варианты, которые не подходят - у них (с-0,5)^2 - не точный квадрат.
Итак, всего 4 решения: 216; 296; 237; 277.
Их сумма: 216+296+237+277 = 1026.
ответ: 1026.
