Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на - вопрос №95575104 от diaweeti551 04.04.2023 16:57

Question

Математика: Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на 4 треугольника.докажите, что произведение площадейдвух противоположных треугольников равно произведению двух других треугольников 16 б

diaweeti551 · Answer

Пусть диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Опустим перпендикуляры BE и DF на отрезок AC. Выпишем формулы площадей треугольников (половина высоты на основание):

$S_{AOD} =\frac{1}{2} *AO*DF\\S_{DOC} =\frac{1}{2} *OC*DF\\S_{AOB} =\frac{1}{2} *AO*BE\\S_{BOC} =\frac{1}{2} *OC*BE\\$

Найдем произведение площадей треугольников:

$S_{AOD} *S_{BOC} =\frac{1}{2} *AO*DF*\frac{1}{2} *OC*BE=\frac{1}{4} *AO*DF*OC*BE\\=\frac{1}{2} *AO*BE*\frac{1}{2} *OC*DF=\frac{1}{4} *AO*DF*OC*BE$

Т.к. равны правые части равенств, то равны и левые:

$S_{AOD} *S_{BOC}=S_{AOB} *S_{DOC}$

что и требовалось доказать.