Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей.
Пусть z = 0 , тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: 6x + 3y = 0
x + 2y - 12 = 0. Умножим это уравнение на -6.
6x + 3y = 0
-6x - 12y +72 = 0
Почленно складываем уравнения и находим решение системы:
-9y = -72, y = -72/-9 = 8. Подставим в первое уравнение.
x = 12 - 2y = 12 - 2*8 = 12 - 16 = -4.
Получили точку на заданной прямой: (-4; 8; 0).
Находим направляющий вектор прямой как результат векторного умножения нормальных векторов заданных плоскостей.
i j k | i j
6 3 -2 | 6 3
1 2 6 | 1 2. Применим треугольную схему.
18i - 2j + 12 k - 36j + 4i - 3k = 22i - 38j + 9k.
Направляющий вектор равен (22; -38; 9).
Теперь можно составить каноническое уравнение прямой.
(x + 4)/22 = (y - 8)/(-38) = z/9.
Если каждый член этого уравнения приравнять t, то получим параметрические уравнения прямой.
{x = 22t - 4,
{y = -38y + 8,
{ z = 9t.
Даны координаты точек : А(-1; 2), В(4; -2), С(6; 0).
а) Середина ВС - точка М((4+6)/2=5; (-2+0)/2=-1) = (5; -1).
Уравнение АМ: (х + 1)/(5 - (-1)) = (у - 2)/(-1 - 2).
(х + 1)/6 = (у - 2)/-3 это канонический вид.
-3x - 3 = 6у - 12,
3x + 6y - 9 = 0 или x + 2y - 3 = 0 это общий вид,
y = (-1/2)x + (3/2) это уравнение с угловым коэффициентом.
б) Высота из точки А на ВС - перпендикуляр АН.
Составляем уравнение стороны ВС:
ВС: (x - 4)/2 = (y + 2)/2.
2x - 8 = 2y + 4 или, сократив на 2:
x - 4 = y + 2. откуда получаем уравнение ВС с угловым коэффициентом
у = x - 6.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой к ВС равен:
к = -1/(к(ВС) = -1/1 = -1.
Уравнение имеет вид у = -х + b.
Для определения b подставим координаты точки А.
2 = -1*(-1) + b,
b = 2 - 1 = 1.
Получаем уравнение AН: у = -х + 1.
Находим основание высоты AН как точку пересечения прямых ВС и АН.
х - 6 = -х + 1
2х = 7, х = 7/2.
у = (7/2) - 6 = -5/2.
Теперь находим длину АН:
АН = √(((7/2) - (-1))² + ((-5/2) - 2)²) = √40,5 ≈ 6,364.
в) В уравнении средней линии EF, параллельной основанию ВС, угловой коэффициент равен такому же в прямой ВС, то есть 1.
Уравнение имеет вид: y = x + b.
Для определения b надо подставить координаты точки E или F, как середины сторон АВ и АС: Е = ((-1+4)/2=1,5; (2-2)/2=0) = (1,5; 0).
0 = 1*1,5 + b,
b = -1,5.
Уравнение EF: y = x - 1,5.
