Как из 2*cos(2x)*cosx получили cos(3x)+cosx? этот момент используется в выведении формулы для косинуса тройного угла. не могу до конца понять как именно. если можно — поподробнее.

Это формула «сумма косинусов», рассмотренная с конца:
2 • cos 2x • cos x = 2 • cos (3x + x)/2 • cos (3x - x)/2 = cos 3x + cos x