База (n = 1):
1 * 4 = 1(1 + 1)² = 4.
Переход:
Пусть выражение верно для n = k, докажем, что оно верно и для k+1:
1 * 4 + 2 * 7 +...+k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k + 2)²
По предположению индукции 1 * 4 + 2 * 7 +...+k(3k + 1) = k(k+1)², значит:
k(k+1)² + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k + 2)²
k³ + 2k² + k + 3k² + 4k + 3k + 4 = (k + 1)(k² + 4k + 4)
k³ + 5k² + 8k + 4 = k³ + 5k² + 8k + 4
Значит, для n = k+1 выражение тоже верно. И так по индукции.
