При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой?

Функция возрастает на всей числовой прямой, если ее производная больше нуля.

Неравенство верно для всех х, если дискриминант < 0

______+__(0)__-____(9)____+____

Функция возрастает на всей числовой прямой при a ∈ (0;9). Осталось теперь проверить при а=0 и а=9

Если a=0, то f'(x)=3x^2>0 - верно. Если a=9, то f'(x)=3x^2+18x+27=3(x+9)^2>0 - верно.

ответ: при a ∈ [0;9].

F(x)=x³-ax²+3ax+1
найдём производная

f'(x)=3x²-2ax+3a

f'(x)>0
функция возрастает

3x²-2ax+3a>0
D=4a²-12a<0
х€R
4a(a-3)<0
a€(-oo;0)U(3;+oo)