При встрече семь человек обменялись . сколько было ?

6+5+4+3+2+1 = 21

Первый руку шестерым, второй - пятерым (рукопожатие с первым уже посчитано), третий - четверым (рукопожатия с первым и со вторым уже посчитано) и т.д.

Есть 7 человек: 1 2 3 4 5 6 7
1. Первый пожимает остальным шести, так как сам себе не пожимает: 6 раз
2. Второй пожимает 5 раз, так как себе не пожимает и первому уже см. 1)
3. Третий - 4 раза (себе нет, первому и второму было)
4. Четвертый - 3 раза (по аналогии)
5. Пятый - 2 раза
6. Шестой - 1 раз (только с седьмым)
И седьмого мы уже со всеми посчитали.
Итого: 6+5+4+3+2+1=21
ответ: 21