Пусть 1^3+2^3+...+n^3=(1+ 2+ ...+ n)^2=А(очевидно, что А>0) 1) n=1 имеем 1^3=1^2. Верно. 2) Допустим, что наше равенство верно для числа n. Докажем, что равенство верно и при n+1. Тогда исходное равенство примет вид (1^3+2^3+...+n^3)+(n+1)^3=((1+ 2+ ...+ n)+(n+1))^2 A+(n+1)^3=(√А+(n+1))^2 A+(n+1)^3=А+2√А*(n+1)+(n+1))^2 (n+1)^3=2√А*(n+1)+(n+1)^2 Так как n натуральное, то (n+1)>0, поэтому разделим обе части нашего уравнения на (n+1) (n+1)^2=2√А*+(n+1) n^2+2n+1=2(1+ 2+ ...+ n)+n+1 n^2+n=2(1+ 2+ ...+ n) Заметим, что 1+ 2+ ...+ n - сумма арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, разностью, равной 1. Тогда количество членов в ней равно n. Тогда n^2+n=2((1+n)/2)*n n^2+n=n^2+n Верно. Значит равенство верно при любых натуральных n
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
