Пусть 2*x=t⇒x=t/2 и 5/x=10/t. А так как x⇒0, то и t=2*x⇒0, и тогда lim(x⇒0) (1+2*x)^(5/x)=lim(t⇒0) (1+t)^(10/t)=lim(t⇒0) [(1+t)^(1/t)]^10. Но lim (t⇒0) (1+t)^(1/t)=e - второй замечательный предел! Поэтому lim (t⇒0) [(1+t)^(1/t)]^10=lim(t⇒0) e^10=e^10. ответ: e^10.
![\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+2x)^\frac{5}{x}=1^\infty=[\lim_{x \to 0}(1+\frac{1}{\frac{1}{2x}})^\frac{1}{2x}]^{2x*\frac{5}{x}}=e^{10}](/tpl/images/0904/2410/801a0.png)
