Воссоздание подлинного образа хана Баяна, этого могучего правителя, как впрочем, и всей истории Аварского каганата, давно ждет своих исследователей.
При реконструкции истории Аварского каганата многое достигается с археологии. Данные археологии последних десятилетий XX-начала ХХI вв. свидетельствуют о хозяйстве, ремеслах, материальной культуре Аварского каганата. Авары принесли с востока два связанных друг с другом нововведения: железные стремена и сабли однолезвийные, слегка изогнутые клинки, предназначенные для нанесения скользящего удара. Со времени кагана Баяна, археологии последних десятилетий XX в. известны богатые захоронения вождей, знатных людей, в частности, в районах между Тиссой и Дунаем.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
Используя замену 
, получим характеристическое уравнение
Общее решение однородного дифференциального уравнения:
Рассмотрим функцию: 
. Здесь 
откуда 
и 
. Сравнивая α, β с корнями характеристического уравнения, частное решение будем искать в виде:
Подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Приравниваем коэффициенты при cos2x и sin2x, получаем систему:
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
Осталось решить задачу Коши, подставляя начальные условия
Частное решение задачки Коши:
