Найдите сумму первых четырёх членов возрастающей прогрессии, сумма первых трёх членов которой равна 13, а второй член равен 3.

Дано: S3 = 13, b2 = 3.
Найти S4.

b2 = b1*q = 3. Отсюда b1 = 3/q.
Сумма трёх: S3 = b1 + b1*q  + b1*q² = 13,
отсюда   b1 + b1*q² = 13 - 3 = 10.
Вынесем за скобки  b1 (1 + q²) = 10, заменим b1 = 3/q:
(3/q) (1 + q²) = 10.
Приведя к общему знаменателю, получаем квадратное уравнение:
3q² - 10q + 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно q: Ищем дискриминант:
D=(-10)^2-4*3*3=100-4*3*3=100-12*3=100-36=64;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
q_1=(√64-(-10))/(2*3)=(8-(-10))/(2*3)=(8+10)/(2*3)=18/(2*3)=18/6=3;q_2=(-√64-(-10))/(2*3)=(-8-(-10))/(2*3)=(-8+10)/(2*3)=2/(2*3)=2/6=1/3.
Находим 2 значения b1:
b1(1) = 3/3 = 1,
b1(2) = 3/(1/3) = 9.

И  2 четвёртых члена:
b4(1) = 1*3³ = 27,
b4(2) = 9*(1/3)³ = 9/27 = 1/3.

Тогда имеем 2 ответа:
S4(1) = S3 + b4(1) = 13 + 27 = 40
S4(2) = S3 + b4(2) =  13 + (1/3) = 40/3.