Если при делегии числа на 9 получается 2 или 7 то при делении квадрата этого числа на 9 получется остаток 4

Пусть при делении на 9 некоторого числа остаётся 2.
Отсюда, само число имеет вид 9х+2.
Образуем квадрат этого числа.
(9х+2)²=(9х)²+2*9х*2+2²=81х²+36х+4.
Первое из слагаемых делимо на 9, второе - делимо, а четвёрочка - остаток, что и следовало доказать.