На доске написано число 61 каждую минуту число стирают с доски и записывают на это место произведение чисел увеличенное на 13 то есть например через одну минуту на доске будет записано число 6*1+13=19 какое число будет записано на доске через час? через полтора часа?

1) sin^4а -cos^4 a+cos^2 a = = (sin²a – cos²a)*(sin²a + cos²a) + cos²a = -cos(2a) + cos²a.
2)tg^2 a* cos^2 a+ctg^2 a*sin^2 a =  ((sin²a*cos²a) / cos²a) +  +((cos²a*sin²a ) / sin²a) =  sin²a + cos²a = 1.
3)cos^4 a+sin^2 a*cos^2 a+sin^2 a = cos²a*(cos²a + sin²a) + sin²a = =cos²a*1 + sin²a = 1.
4) tg a/(1-tg^2 a) +ctg a /(1-ctg^2 a) =
= 2*sin a *cos² a / 2*cos a*cos (2a) +
+ 2*cos a*sin²a / 2*sin a*(-cos (2a)) =  tg (2a) / 2 - tg (2a) / 2 = 0.
5)sin^2 a+cos^2 a+ tg^2 a = = 1 + sin² a / cos²a = (cos²a + sin²a) / cos²a = 1 / cos²a.
6) sin a /(1+cos a) + sin a /(1-cos a) =
= (sin a - sin a*cos a + sin a + sin a*cos a) / (1 – cos2a) =  2*sin a / (1 – -cos²a) = 2*sin a / sin²a =  2 / sin a.

A^3 + 11a = a*(a^2 + 11)
Если число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3 одновременно.
Если а делится на 6, то число делится на 6.
Если а делится на 6 с остатком 1, то его можно представить как a = 6k+1
a((6k+1)^2 + 11) = a(36k^2+12k+1+11) = a(36k^2+12k+12) = 6a(6k^2+2k+2)
Очевидно, оно делится на 6
Если а делится на 6 с остатком 2, то его можно представить как a=6k+2=2(3k+1)
a((6k+2)^2+11)=a(36k^2+24k+4+11)=2(3k+1)(36k^2+24k+15)=6(3k+1)(12k^2+8k+5)
Очевидно, оно делится на 6
Если а делится на 6 с остатком 3, то его можно представить как a=6k+3=3(2k+1)
a((6k+3)^2+11)=a(36k^2+36k+9+11)=3(2k+1)(36k^2+36k+20)=12(3k+1)(9k^2+9k+5)
Очевидно, оно делится на 6
Если а делится на 6 с остатком 4, то его можно представить как a=6k+4=2(3k+2)
a((6k+4)^2+11)=a(36k^2+48k+16+11)=2(3k+2)(36k^2+48k+27)=6(3k+2)(12k^2+16k+9)
Очевидно, оно делится на 6
Если а делится на 6 с остатком 5, то его можно представить как a = 6k+5
a((6k+5)^2 + 11) = a(36k^2+60k+25+11) = a(36k^2+60k+36) = 6a(6k^2+10k+6)
Очевидно, оно делится на 6
Итак, во всех случаях это число делится на 6.