1+2^1+2^2++2^(n-1)=2^n-1 1) база: 1=1. 2) предположим, что равно для n. 3) (а вот это я не понимаю, нужно написать для n+1)

Это метод математической индукции. Если все три условия соблюдаются, то можно взять n=1 (в силу первого условия) и используя третье доказать что все верно для n=2. Дальше берем n=2 и доказываем, что верно для n=3. И т.д. до бесконечности.
В твоем случае
1+2¹+2²+...+2ⁿ⁻¹=2ⁿ-1
Рассмотрим для n+1
1+2¹+2²+...+2ⁿ⁻¹+2ⁿ=( 1+2¹+2²+...+2ⁿ⁻¹)+2ⁿ=(2ⁿ-1)+2ⁿ=2*2ⁿ-1=2ⁿ⁺¹-1
Мы доказали третье утверждение
1+2¹+2²+...+2ⁿ⁻¹+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1