Полное исследование функции и ее график y=x^2/(x^2+5)

1) Область определения функции. Точки разрыва функции.
2) Четность или нечетность функции.

y(-x) = y(x), четная функция
3) Периодичность функции.
4) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y
x=0, y=0
Пересечение с осью 0X
y=0

x = 0
5) Исследование на экстремум.
y = x^2/(x^2+5)
Поскольку f(-x)=f(x), то функция является четной.
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

или

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
10x = 0
Откуда:
x1 = 0
(-∞ ;0)(0; +∞)f'(x) < 0f'(x) > 0функция убываетфункция возрастает
В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

или

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

Откуда точки перегиба:
x1 = -1.291

f''(x) < 0f''(x) > 0f''(x) < 0функция выпуклафункция вогнутафункция выпукла
6) Асимптоты кривой.

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Находим коэффициент b:

Получаем уравнение горизонтальной асимптоты:
y = 1