При каких натуральных значениях n существует натуральное число m , при котором выполняется равенство m^3+10m^2+16m=3^n . если таких значений несколько , то в ответе укажите наибольший из них.

Разложим левую часть на множители:



Каждый из трёх множителей должен быть степенью 3.

где a ≥0; b≥0; c≥0

Из второго выражения вычтем первое:


Отсюда, или и , что невозможно; или и . Тогда, a=0 и b=1.

Аналогично, из третьего выражения вычтем первое:

Отсюда получаем решение при a=0 и c=2,

Итак, получаем единственное решение:


Подставляем m=1 в исходное выражение:


ответ: 3